向量积公式怎么算
【向量积公式怎么算】向量积，也称为叉乘或外积，是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中的物理和数学问题。它与点积不同，结果是一个新的向量，而不是一个标量。向量积的大小等于两个向量的模长乘积与它们夹角正弦值的乘积，方向则由右手定则确定。
一、向量积的基本定义
设两个向量为 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的向量积记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，其计算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
其中，$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 是三个坐标轴的单位向量。
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 零向量 | 若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ | ||||||
| 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角 |
三、向量积的计算步骤
1. 写出两个向量的坐标：例如 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$。
2. 使用行列式法展开：按照上述公式进行计算。
3. 计算每个分量：
- $x$ 分量：$a_2b_3 - a_3b_2$
- $y$ 分量：$a_3b_1 - a_1b_3$
- $z$ 分量：$a_1b_2 - a_2b_1$
4. 组合成结果向量：将各分量组合成最终的向量结果。
四、实际应用示例
假设 $\vec{a} = (2, 3, 4)$，$\vec{b} = (5, 6, 7)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
(3×7 - 4×6)\mathbf{i} - (2×7 - 4×5)\mathbf{j} + (2×6 - 3×5)\mathbf{k}
= (21 - 24)\mathbf{i} - (14 - 20)\mathbf{j} + (12 - 15)\mathbf{k}
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
因此，$\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)$。