不定积分公式
发布时间：2026-02-15 17:53:55
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编辑：慕容宁腾
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导读 【不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是一个重要的基础内容。它主要用于求解原函数，即已知导数求其对应的函数形式。掌握常见的不定积分公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
【不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是一个重要的基础内容。它主要用于求解原函数，即已知导数求其对应的函数形式。掌握常见的不定积分公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本不定积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、常用代数函数的积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \sqrt{x^2 + a^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \sqrt{x^2 - a^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) + C $ |
三、三角函数的积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
四、反三角函数的积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \arcsin x $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \arccos x $ | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \arctan x $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
五、其他常用公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
以上是常见的不定积分公式汇总，适用于大多数基本的积分运算。在实际应用中，还需结合换元法、分部积分等技巧来处理复杂函数的积分问题。