数学期望常用公式
【数学期望常用公式】在概率论与统计学中，数学期望是描述随机变量长期平均结果的重要概念。它在金融、工程、数据分析等多个领域有广泛应用。本文将总结常见的数学期望计算公式，帮助读者快速掌握其核心内容。
一、离散型随机变量的数学期望
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望 $ E(X) $ 的计算公式如下：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
其中，$ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 $，即所有概率之和为1。
二、连续型随机变量的数学期望
对于一个连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望 $ E(X) $ 的计算公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
该公式适用于所有定义域内的连续型分布，如正态分布、均匀分布等。
三、常见分布的数学期望
以下是一些常见概率分布的数学期望公式：
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X=1)=p, P(X=0)=1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $（区间 [a,b]） | $ E(X) = \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
四、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性：若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
五、应用实例
例如，某次考试的分数服从均值为70、标准差为10的正态分布，那么考生的平均成绩（即数学期望）就是70分。
再如，在一次抛硬币实验中，正面出现的概率为0.5，反面为0.5，设 $ X $ 为获得正面时的得分（设为1），反面得分为0，则：
$$
E(X) = 1 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = 0.5
$$
通过以上总结，我们可以更清晰地理解数学期望的计算方法及其在实际问题中的应用。掌握这些公式有助于我们在处理随机变量时做出更准确的判断和预测。